Lorenz equations and atmospheric convection
Flander, Jarmo (2023)
Kandidaatintyö
2023
School of Engineering Science, Laskennallinen tekniikka
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi-fe2023062658116
https://urn.fi/URN:NBN:fi-fe2023062658116
Tiivistelmä
The thesis aimed to provide an introduction to Lorenz equations and the chaotic behavior of dynamical systems. The focus was on their implementation in atmospheric convection, which was done by defining the most essential mathematical tools for observing the stability of dynamical systems. These tools were then implemented into definitions of the properties of Lorenz equations, supported by numerical simulation and analysis.
Depending on the parametrization of the Lorenz system, the system either behaved predictably or chaotically. As the system behaved predictably, variable values behaved periodically, with lowering amplitude. As it behaved chaotically, there appeared short time intervals, when variables behaved periodically with increasing amplitude, until a certain threshold was reached. Short-term predictability appeared to be possible even when the system’s behavior was chaotic, but long-term predictability seemed to be very hard or impossible since the trajectories of the system separated fast from each other after a relatively short time period. Tämä kandidaatintyö tarjosi johdatuksen Lorenzin yhtälöihin sekä dynaamisten järjestelmien kaaottiseen käyttäytymiseen. Työ keskittyi yhtälöiden soveltamiseen ilmakehän konvektiossa, mikä tehtiin määrittelemällä keskeisimmät matemaattiset työkalut dynaamisten järjestelmien vakauden tarkasteluun. Nämä työkalut otettiin käyttöön Lorenzin yhtälöiden ominaisuuksien määrittelyssä, numeerisen simuloinnin ja analyysin tukemana.
Lorenzin järjestelmän käyttäytyminen riippui sen parametrisoinnista: järjestelmä voi käyttäytyä joko ennustettavasti tai kaaottisesti. Ennustettavasti käyttäytyessään muuttujien arvot vaihtelivat periodisesti, ja amplitudi pieneni. Kaaottisesti käyttäytyessään järjestelmässä ilmeni lyhyitä ajanjaksoja, jolloin muuttujien arvot vaihtelivat periodisesti kasvavalla amplitudilla, kunnes tietty kynnysarvo saavutettiin. Lyhyen aikavälin ennustettavuus on mahdollista, vaikka järjestelmä käyttäytyisi kaaottisesti, mutta pitkän aikavälin ennustettavuus vaikutti olevan hyvin vaikeaa tai mahdotonta, koska järjestelmän liikeradat erkaantuivat toisistaan nopeasti suhteellisen lyhyen ajanjakson jälkeen.
Depending on the parametrization of the Lorenz system, the system either behaved predictably or chaotically. As the system behaved predictably, variable values behaved periodically, with lowering amplitude. As it behaved chaotically, there appeared short time intervals, when variables behaved periodically with increasing amplitude, until a certain threshold was reached. Short-term predictability appeared to be possible even when the system’s behavior was chaotic, but long-term predictability seemed to be very hard or impossible since the trajectories of the system separated fast from each other after a relatively short time period.
Lorenzin järjestelmän käyttäytyminen riippui sen parametrisoinnista: järjestelmä voi käyttäytyä joko ennustettavasti tai kaaottisesti. Ennustettavasti käyttäytyessään muuttujien arvot vaihtelivat periodisesti, ja amplitudi pieneni. Kaaottisesti käyttäytyessään järjestelmässä ilmeni lyhyitä ajanjaksoja, jolloin muuttujien arvot vaihtelivat periodisesti kasvavalla amplitudilla, kunnes tietty kynnysarvo saavutettiin. Lyhyen aikavälin ennustettavuus on mahdollista, vaikka järjestelmä käyttäytyisi kaaottisesti, mutta pitkän aikavälin ennustettavuus vaikutti olevan hyvin vaikeaa tai mahdotonta, koska järjestelmän liikeradat erkaantuivat toisistaan nopeasti suhteellisen lyhyen ajanjakson jälkeen.