Parameter estimation for nonlinear partial differential equations

Abstract

This thesis focuses on performing a case study in the form of parameter estimation of nonlinear partial differential equations. The included mathematical models are one simple boundary value problem and two versions of shallow water equations. Each of them is presented and demonstrated using example cases. Bayesian theorem is also given in the pages of this thesis, together with different estimators and likelihoods for parameter estimation. The concept of Markov chains and Monte Carlo algorithms is introduced and the adaptive Metropolis algorithm is used to conduct simulations. Results are visualized using posterior and prediction distributions and correlations between unknown parameters are studied.

Tämä opinnäytetyö keskittyy tapaustutkimuksen suorittamiseen epälineaaristen osittaisdifferentiaaliyhtälöiden parametriestimoinnin muodossa. Mukana olevat matemaattiset mallit ovat yksi yksinkertainen raja-arvo-ongelma ja kaksi versiota matalan veden yhtälöistä. Jokainen niistä esitellään ja kuvataan esimerkkitapausten avulla. Tämän opinnäytetyön sivuilla on myös esitetty Bayesin lause yhdessä erilaisten estimaattien ja parametrien arvioinnin uskottavuuksien kanssa. Sekä Markovin ketjut- että Monte Carlo -simulaatioiden teoria esitellään ja simulaatioiden suorittamiseen käytetään adaptiivista Metropolis -algoritmia. Tulokset visualisoidaan käyttämällä posteriori- ja ennustejakaumia sekä tutkitaan tuntemattomien parametrien välisiä korrelaatioita.