Kalman inversion methods for large-scale inverse problems

Abstract

Mathematical models play a vital role in solving related inverse problems, and as modern models become more complex, the evaluation times could increase to levels which make the inversion unfeasible by requiring an order of 10⁴ model runs. As most models require several parameters in their large-scale systems, an approach capable of performing the inversion from measurements with few model evaluations is required to produce results in a reasonable time. This thesis studies the Unscented Kalman Inversion (UKI) and Ensemble Kalman Inversion (EKI) methods as alternative approaches to solving inverse problems in the Bayesian setting. The approach attempts to greatly reduce the number of forward evaluations required during inversion compared to the classical algorithms. The methods arise from conditional multivariate Gaussian transformations paired with basic stochastic dynamics. UKI utilizes a deterministic, and EKI, a stochastic approach to estimate and handle the required information in the algorithm. The goal of the methods is to arrive at an estimate of the mean and covariance of the posterior distribution through iterative particle filtering. The performance of UKI and EKI is demonstrated using numerical examples in function estimation and parameter recovery, with an example application in mechanical engineering.

Matemaattisilla malleilla on keskeinen rooli vastaavien inversio-ongelmien ratkaisemisessa. Nykyaikaisten mallien muuttuessa yhä monimutkaisemmiksi, niiden suorittamisen vaatima aika voi kasvaa tasolle, joka tekee inversiosta toteuttamiskelvottoman tarvittavien malliajojen määrän ollessa suuruudeltaan 10⁴. Näiden mallien hyödyntäessä useita parametreja niiden laajamittaisissa rakenteissa, vaatii kyseisen inversio-ongelman ratkaiseminen menetelmän, joka kykenee inversioon vähäisillä malliajoilla kohinaisista mittauksista. Tämä diplomityö käsittelee Unscented Kalman Inversion (UKI) ja Ensemble Kalman Inversion (EKI) menetelmiä vaihtoehtona inversio-ongelmien ratkaisemiseen bayesilaisittain. Kalmanin inversioalgoritmit perustuvat moniulotteisen normaalijakauman ehdolliseen muunnokseen, joka on yhdistetty yksinkertaisen stokastisen dynaamisen systeemin kanssa. Menetelminä UKI hyödyntää determinististä ja EKI stokastista lähestymistapaa estimointiin ja informaation käsittelyyn. Näiden menetelmien tavoitteena on tuottaa arvio posteriorijakauman keskiarvolle ja kovarianssille iteratiivisesti suodattamalla partikkeleja pienemmällä määrällä malliajoja kuin aiemmilla algoritmeilla. UKI ja EKI menetelmien toimivuutta demonstroidaan numeerisesti esimerkeillä liittyen funktioiden ja parametrien estimointiin ja esimerkki sovelluksella konetekniikassa.