Dynamic modelling and control of a flexible inverse pendulum

Abstract

This thesis focuses on the dynamic modelling and control of a general inverted pendulum model, which is positioned via a cart. The system is chosen to be controlled by using a linear quadratic regulator (LQR). The inverted pendulum serves as a well-known example of an underactuated, unstable system. The primary objectives of this work were to construct a detailed mathematical representation of the system’s dynamics and to design a controller that would be able to stabilise the pendulum in its upright orientation, counteracting its inherent nonlinear behaviour and natural instability.

A mathematical model of the system was derived using classical and Lagrangian mechanics, and linearised to create a state-space representation suitable for LQR control. The LQR controller was then designed to minimise the control effort while stabilising the pendulum, by optimising a cost function that balances the state deviation and control input by adjusting the critical parameters. The simulation results confirmed the controller's capability to keep the pendulum balanced in the upright position across various starting conditions. The study also analysed the system’s sensitivity to changes in physical parameters, such as beam length, mass of parts, and spring stiffnesses.

The findings of this thesis contribute to the understanding of controlling nonlinear, unstable systems using optimal control techniques, with potential applications in robotics and automation. Further improvements, including non-linear control strategies and data-driven approaches, are discussed as potential areas for future research.

Tässä diplomityössä tutkitaan vaunulla liikuteltavan käänteisen heilurisysteemin dynaamista mallinnusta sekä ohjauksen toteuttamista ja optimoimista LQR-säätöalgoritmilla. Käänteinen heiluri on hyvin tunnettu esimerkki aliaktivoidusta ja luontaisesti epästabiilista systeemistä. Tutkimuksen tavoitteina oli kehittää kattava matemaattinen malli heilurisysteemin dynamiikasta ja suunnitella ohjausjärjestelmä, joka pystyy vakauttamaan heilurin pystyasentoon, huolimatta systeemin epälineaarisuudesta ja luonnollisesta taipumuksesta kaatua.

Systeemin matemaattinen malli johdettiin klassisen ja Lagrangen mekaniikan avulla, ja se linearisoitiin luomalla tila-avaruusesitys, joka sopii LQR-säätöalgoritmilla ohjaamiseen. LQR-säätöalgoritmiohjain suunniteltiin minimoimaan ohjausponnistuksia samalla kun se vakauttaa heiluria. Tämä toteutettiin optimoimalla kustannusfunktio, joka tasapainottaa systeemin tilan poikkeamia ja ohjaussignaalia. Simulointitulokset osoittivat ohjaimen pystyvän tehokkaasti pitämään heilurin pystyasennossa erilaisilla alkutilanteilla. Tutkimuksessa analysoitiin myös systeemin herkkyyttä fyysisten parametrien, kuten palkkien pituuden, osien massojen tai jousien jäykkyyksien muutoksille.

Tämän diplomityön löydökset edistävät ymmärrystä epälineaaristen ja epästabiilien järjestelmien ohjaamisesta optimaalisilla ohjaustekniikoilla, ja niillä on mahdollisia sovelluksia robotiikassa ja automaatiossa. Työssä keskustellaan lisäksi tulevista tutkimusalueista sekä mahdollisista parannuksista, kuten epälineaarisista ohjausstrategioista sekä tietopohjaisista lähestymistavoista.