Calderón problem for piecewise constant conductivities

Abstract

In this master’s thesis, we explore the theory of inverse problems for partial differential equations, based on literature and research articles. We present a mathematical framework for the inverse problem of the conductivity equation, commonly known as the Calderon problem. We first introduce the conductivity equation and prove that under certain regularity conditions, there exists a unique weak solution to the conductivity equation for any given boundary condition. Subsequently, we show that, under these same conditions, the Dirichlet-to-Neumann (DN) map, which sends boundary potentials to boundary currents, is well-defined. We then focus on the Calderon problem, showing that boundary measurements obtained via the DN map uniquely determine the conductivity of the medium. Additionally, we provide a stability estimate that outlines conditions under which the unique conductivity depends logarithmically stably on the boundary measurements. Moreover, we establish conditions that enable the unique determination of conductivity even when measurements are restricted to a portion of the boundary.

In the second part of the thesis, we introduce a variant of the Calderon problem where the conductivities are piecewise constant. We focus on the complete electrode model (CEM), which provides a realistic representation of boundary measurements in practical applications. Within this framework, we introduce a current-to-potential operator that sends the supplied currents to the potentials at each electrode. We show that, given a sufficient number of electrodes, this operator uniquely determines the conductivity of the medium and that this determination is Lipschitz stable.

Tässä diplomityössä tutustutaan inversio-ongelmien teoriaan osittaisdifferentiaaliyhtälöille kirjallisuuden ja tutkimusartikkelien pohjalta. Johdamme matemaattisen viitekehyksen johtavuusyhtälön inversio-ongelmalle, joka tunnetaan Calderónin ongelmana. Ensin esittelemme johtavuusyhtälön ja todistamme, että tietyillä säännöllisyysehdoilla voimme yksikäsitteisesti ratkaista kappaleen sisäisen sähköisen potentiaalin annetulla reunajännitteellä. Tämän jälkeen näytämme, että samoilla ehdoilla Dirichlet–Neumann-kuvaus (DN-kuvaus), joka kuvaa reunapotentiaalit reunavirroiksi, on hyvin määritelty. Keskitymme sitten Calderónin ongelmaan ja osoitamme, että DN-kuvauksen avulla saadut reunamittaukset määräävät yksikäsitteisesti kappaleen sähkönjohtavuuden. Esittelemme vakausestimaatin, joka asettaa ehdot, joiden alaisuudessa yksikäsitteinen sähkönjohtavuus riippuu logaritmisesti vakaalla tavalla reunamittauksista. Lisäksi esittelemme ehdot, joiden avulla voimme yksikäsitteisesti määrittää sähkönjohtavuuden, vaikka mittaukset olisivat saatavilla vain osasta reunaa.

Työn toisessa osassa esittelemme Calderónin ongelman variantin, jossa sähkönjohtavuudet ovat paloittain vakiota. Keskitymme täydelliseen elektrodimalliin (complete electrode model), joka tarjoaa realistisen esityksen reunamittauksista käytännön sovelluksissa. Tässä viitekehyksessä esittelemme virta-potentiaali-operaattorin, joka kuvaa syötetyt virrat kunkin elektrodin potentiaaleiksi. Näytämme, että riittävällä määrällä elektrodeja tämä operaattori määrää yksikäsitteisesti väliaineen sähkönjohtavuuden ja että tämä määritys on Lipschitzstabiili.