Limited angle Radon transform : theory and numerical study
Salo, Ella (2025)
Kandidaatintyö
Salo, Ella
2025
School of Engineering Science, Laskennallinen tekniikka
Kaikki oikeudet pidätetään.
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi-fe2025052251038
https://urn.fi/URN:NBN:fi-fe2025052251038
Tiivistelmä
Mathematical inversion of the Radon and X-ray transform forms the mathematical foundation of computerized tomography imaging. Often in practical applications, the data is noisy and can only be collected from a limited angular range. Under these conditions, the inverse problem becomes highly ill-posed. In this thesis, we analyze the effects of the limited angular range on the inverse problem, both theoretically and numerically.
In this thesis, we introduce the mathematical framework covering Radon and X-ray transforms and prove some of their preliminary properties, such as uniqueness and the Fourier slice theorem. Theoretical inversion formulas and filtered backprojection formulas are derived in detail in both full and limited angle settings.
We offer intuition by implementing the inversion process numerically using filtered backprojection and Tikhonov regularization. The numerical results demonstrate the impossibility of full reconstruction of the target image using these methods, and that a smaller angular range leads to higher error in reconstruction. Results also show that the Tikhonov regularized solution produces lower relative errors in all tested angle ranges, outperforming the filtered backprojection method. Radon- ja röntgenmuunnoksen käänteismuunnokset muodostavat tietokonetomografiakuvantamisen matemaattisen perustan. Usein käytännön sovelluskohteissa data on kohinaista ja sitä voidaan kerätä vain rajatulta kulma-alueelta. Näissä olosuhteissa käänteisongelma on huonosti määritelty. Tässä työssä analysoidaan rajatun kulman vaikutusta käänteisongelman ratkaisuun teoreettisella ja numeerisella tasolla.
Tutkielmassa esitellään Radon- ja röntgenmuunnoksen matemaattiset lähtökohdat sekä osoitetaan niiden perustavanlaatuisia ominaisuuksia kuten yksikäsitteisyyden sekä Fourierin viipaleteoreeman. Teoreettiset käänteismuunnoskaavat sekä suodatetun takaisinprojektion kaavat johdetaan yksityiskohtaisesti sekä täyden että rajatun kulmadatan tapauksessa.
Havainnollistamme käänteisprosessia numeerisella implementaatiolla käyttäen suodatettua takaisinprojektiota ja Tikhonovin regularisointia. Numeeriset tulokset osoittavat, että näillä menetelmillä kohdekuvan täydellinen rekonstruointi ei ole mahdollista rajoitetun kulma-alueen datasta, ja että pienempi kulmaväli johtaa suurempaan rekonstruointivirheeseen. Tuloksista huomataan myös, että Tikhonovin regularisointi tuottaa pienemmät suhteelliset virheet kuin suodatettu takaisinprojektio kaikilla tarkastelluilla kulmaväleillä.
In this thesis, we introduce the mathematical framework covering Radon and X-ray transforms and prove some of their preliminary properties, such as uniqueness and the Fourier slice theorem. Theoretical inversion formulas and filtered backprojection formulas are derived in detail in both full and limited angle settings.
We offer intuition by implementing the inversion process numerically using filtered backprojection and Tikhonov regularization. The numerical results demonstrate the impossibility of full reconstruction of the target image using these methods, and that a smaller angular range leads to higher error in reconstruction. Results also show that the Tikhonov regularized solution produces lower relative errors in all tested angle ranges, outperforming the filtered backprojection method.
Tutkielmassa esitellään Radon- ja röntgenmuunnoksen matemaattiset lähtökohdat sekä osoitetaan niiden perustavanlaatuisia ominaisuuksia kuten yksikäsitteisyyden sekä Fourierin viipaleteoreeman. Teoreettiset käänteismuunnoskaavat sekä suodatetun takaisinprojektion kaavat johdetaan yksityiskohtaisesti sekä täyden että rajatun kulmadatan tapauksessa.
Havainnollistamme käänteisprosessia numeerisella implementaatiolla käyttäen suodatettua takaisinprojektiota ja Tikhonovin regularisointia. Numeeriset tulokset osoittavat, että näillä menetelmillä kohdekuvan täydellinen rekonstruointi ei ole mahdollista rajoitetun kulma-alueen datasta, ja että pienempi kulmaväli johtaa suurempaan rekonstruointivirheeseen. Tuloksista huomataan myös, että Tikhonovin regularisointi tuottaa pienemmät suhteelliset virheet kuin suodatettu takaisinprojektio kaikilla tarkastelluilla kulmaväleillä.