Barycentric polynomial interpolation
Korjus, Onni (2025)
Kandidaatintyö
2025
School of Engineering Science, Laskennallinen tekniikka
Kaikki oikeudet pidätetään.
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi-fe2025061668694
https://urn.fi/URN:NBN:fi-fe2025061668694
Tiivistelmä
Polynomial interpolation is a numerical method for solving problems where you want to find a polynomial of degree n that traverses through n + 1 points, called interpolation points. The objective of this thesis is to demonstrate the properties of polynomial interpolation and how polynomial interpolation can be applied, with a particular focus on a formula called the barycentric formula.
The thesis first introduces the concept of polynomial interpolation, and afterwards the formulas and interpolation point distributions used in the thesis. The covered formulas are the Lagrange interpolation formula and the barycentric formula. The covered interpolation point distributions are equidistant points and Chebyshev points. After the required background theory is covered, some numerical examples demonstrating the properties and methods of applying polynomial interpolation are presented.
As for results, what is argued is that in the context of polynomial interpolation, the barycentric formula is generally superior to the Lagrange interpolation formula, and that Chebyshev points are generally superior to equidistant points. Among other points, it is found that the barycentric formula is more stable than the Lagrange interpolation formula in that it can withstand added Gaussian noise into one of its parts. Polynominen interpolaatio on numeerinen menetelmä sellaisten ongelmien ratkaisuun, jossa halutaan löytää n-asteinen polynomi, joka läpäisee n + 1 pistettä, joita kutsutaan interpolaatiopisteiksi. Työn tavoite on esitellä polynomisen interpolaation ominaisuuksia ja toteutustapoja, painottaen erityisesti barysentrisen kaavan käyttöä.
Työssä esitellään ensin polynomista interpolaatiota, jonka jälkeen esitellään työssä käytetyt kaavat ja interpolaatiopistejakaumat. Käsitellyt kaavat ovat Lagrangen interpolaatiokaava ja barysentrinen kaava. Pistejoukoista käsitellään tasavälisiä pisteitä ja Chebyshev-pisteitä. Tarvittavan taustateorian jälkeen esitellään numeerisia esimerkkejä polynomisen interpolaation ominaisuuksista ja käyttötavoista.
Tuloksena argumentoidaan, että polynomisen interpolaation kontekstissa barysentrinen kaava on yleisesti ottaen parempi kuin Lagrangen interpolaatiokaava, ja että Chebyshev-pisteet ovat yleisesti ottaen parempia kuin tasaväliset pisteet. Muiden huomioiden lisäksi saatiin tuloksena, että barysentrinen kaava on stabiilimpi kuin Lagrangen interpolaatiokaava siinä mielessä, että se kykenee kestämään osaansa lisättyä Gaussista kohinaa.
The thesis first introduces the concept of polynomial interpolation, and afterwards the formulas and interpolation point distributions used in the thesis. The covered formulas are the Lagrange interpolation formula and the barycentric formula. The covered interpolation point distributions are equidistant points and Chebyshev points. After the required background theory is covered, some numerical examples demonstrating the properties and methods of applying polynomial interpolation are presented.
As for results, what is argued is that in the context of polynomial interpolation, the barycentric formula is generally superior to the Lagrange interpolation formula, and that Chebyshev points are generally superior to equidistant points. Among other points, it is found that the barycentric formula is more stable than the Lagrange interpolation formula in that it can withstand added Gaussian noise into one of its parts.
Työssä esitellään ensin polynomista interpolaatiota, jonka jälkeen esitellään työssä käytetyt kaavat ja interpolaatiopistejakaumat. Käsitellyt kaavat ovat Lagrangen interpolaatiokaava ja barysentrinen kaava. Pistejoukoista käsitellään tasavälisiä pisteitä ja Chebyshev-pisteitä. Tarvittavan taustateorian jälkeen esitellään numeerisia esimerkkejä polynomisen interpolaation ominaisuuksista ja käyttötavoista.
Tuloksena argumentoidaan, että polynomisen interpolaation kontekstissa barysentrinen kaava on yleisesti ottaen parempi kuin Lagrangen interpolaatiokaava, ja että Chebyshev-pisteet ovat yleisesti ottaen parempia kuin tasaväliset pisteet. Muiden huomioiden lisäksi saatiin tuloksena, että barysentrinen kaava on stabiilimpi kuin Lagrangen interpolaatiokaava siinä mielessä, että se kykenee kestämään osaansa lisättyä Gaussista kohinaa.