The Radon transform

Abstract

Computed tomography scan is a common imaging technique used in medical diagnostics and industrial applications. The mathematical foundation of computed tomography is based on the Radon transform, which models X-ray measurements as line integrals taken from many different angles around an object with an unknown function. Reconstruction of the internal structure of an object from these measurements leads to an inverse problem, which is known to be highly sensitive to noise, measurement errors, and incomplete data.

In this thesis, the Radon transform and its connection to X-ray imaging are explained through Beer’s law. Smoothness, compact support, translation invariance, and other mathematical properties of the Radon transform are discussed and proved. Mathematical properties are proved using important theorems like the Fourier slice theorem and the uniqueness of reconstruction. Among the inversion methods, we study backprojection, and filtered backprojection.

The results show that, although mathematics guaranties the existence of a unique solution, the inversion process is highly sensitive to errors in the data. In practical situations, incomplete or noisy data can lead to significant reconstruction errors. Therefore, accurate image reconstruction requires sufficient and high-quality data, and different reconstruction methods may produce different results under imperfect conditions.

Tietokonetomografia kuvaus on yleinen kuvantamismenetelmä, jota käytetään lääketieteellisessä diagnostiikassa ja teollisuussovelluksissa. Tietokonetomografia perustuu Radon-muunnokseen, joka mallintaa röntgenmittaukset viivaintegraaleina, jotka otetaan monista eri kulmista tuntemattoman funktion sisältävän kohteen ympäriltä. Kohteen sisäisen rakenteen rekonstruointi näistä mittauksista johtaa käänteisongelmaan, jonka tiedetään olevan erittäin herkkä kohinalle, mittausvirheille ja puutteelliselle aineistolle.

Tässä työssä tarkastellaan Radon-muunnosta ja sen yhteyttä röntgenkuvaukseen Beer-Lambertin lain avulla. Käsitellään ja todistetaan Radon-muunnoksen perustavia matemaattisia ominaisuuksia, kuten sileysominaisuuttaa, kompaktia tukea ja siirtoinvarianssi. Esitetään tärkeitä tuloksia, kuten Fourierin viipalause ja rekonstruktion yksikäsitteisyys. Käänteismenetelmistä tarkastellaan erityisesti takaisinprojektiota ja suodatettua takaisinprojektiota.

Tulokset osoittavat, että vaikka matematiikka takaa yksikäsitteisen ratkaisun olemassaolon, käänteisprosessi on erittäin herkkä aineiston virheille. Käytännön tilanteissa puutteellinen tai kohinainen aineisto voi johtaa merkittäviin rekonstruktiovirheisiin. Tämän vuoksi tarkka kuvan rekonstruointi vaatii riittävän ja laadukkaan aineiston, ja eri rekonstruktiomenetelmät voivat tuottaa erilaisia tuloksia epätäydellisissä olosuhteissa.