Neuroverkkojen approksimaatio-ominaisuuksien matemaattinen tarkastelu
Lehto, Emma (2026)
Kandidaatintyö
2026
School of Engineering Science, Laskennallinen tekniikka
Kaikki oikeudet pidätetään.
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi-fe20260617100065
https://urn.fi/URN:NBN:fi-fe20260617100065
Tiivistelmä
Tässä kandidaatintyössä tarkastellaan neuroverkkojen universaalia approksimaatiolausetta matemaattisesta näkökulmasta. Työn tavoitteena on täsmentää, mitä neuroverkon approksimaatiokyvyllä tarkoitetaan ja millä oletuksilla approksimaatioväite voidaan muotoilla täsmällisesti.
Työssä keskitytään jatkuviin reaaliarvoisiin funktioihin kompakteilla joukoilla sekä supremumnormissa tapahtuvaan approksimaatioon. Keskeisiä käsitteitä ovat jatkuvuus, tasainen jatkuvuus, kompaktius, tasainen suppeneminen ja supremumnormi. Näiden avulla approksimaatio voidaan esittää väitteenä, jossa kohdefunktion ja approksimoivan funktion suurin mahdollinen poikkeama hallitaan koko tarkasteltavalla joukolla.
Työssä esitetään lisäksi yksiulotteinen esimerkki ReLU-aktivaatiofunktion avulla. Esimerkki havainnollistaa, kuinka paloittain lineaarisia approksimaatioita voidaan esittää äärellisinä siirrettyjen ReLU-funktioiden lineaarikombinaatioina. Yksiulotteisen tarkastelun lisäksi tarkastellaan myös kaksiulotteista approksimaation rakennetta L²-normissa.
Työn perusteella universaali approksimaatiolause tarjoaa teoreettisen perustan neuroverkkojen approksimaatiokyvylle. Lause on kuitenkin olemassaolotulos, eikä se yksinään kerro, miten sopivat parametrit löydetään käytännön oppimisongelmissa. ReLU-esimerkit yhdistävät abstraktin approksimaatiotuloksen konkreettisiin approksimaatiorakenteisiin.
Työssä keskitytään jatkuviin reaaliarvoisiin funktioihin kompakteilla joukoilla sekä supremumnormissa tapahtuvaan approksimaatioon. Keskeisiä käsitteitä ovat jatkuvuus, tasainen jatkuvuus, kompaktius, tasainen suppeneminen ja supremumnormi. Näiden avulla approksimaatio voidaan esittää väitteenä, jossa kohdefunktion ja approksimoivan funktion suurin mahdollinen poikkeama hallitaan koko tarkasteltavalla joukolla.
Työssä esitetään lisäksi yksiulotteinen esimerkki ReLU-aktivaatiofunktion avulla. Esimerkki havainnollistaa, kuinka paloittain lineaarisia approksimaatioita voidaan esittää äärellisinä siirrettyjen ReLU-funktioiden lineaarikombinaatioina. Yksiulotteisen tarkastelun lisäksi tarkastellaan myös kaksiulotteista approksimaation rakennetta L²-normissa.
Työn perusteella universaali approksimaatiolause tarjoaa teoreettisen perustan neuroverkkojen approksimaatiokyvylle. Lause on kuitenkin olemassaolotulos, eikä se yksinään kerro, miten sopivat parametrit löydetään käytännön oppimisongelmissa. ReLU-esimerkit yhdistävät abstraktin approksimaatiotuloksen konkreettisiin approksimaatiorakenteisiin.